Le système de navigation par GPS - Deuxième leçon : Mesure de la distance
Par Jacques VA2JOT

En mesurant le temps de propagation entre un satellite et le récepteur GPS, nous pouvons calculer sa distance relative au récepteur.

Les maths

Les maths sont une simple expression de temps multiplié par la vitesse:

Nous traitons ici d'ondes de radio dont la vitesse est d'approximativement 300,000 kilomètres à la seconde. Le défi consiste donc à mesurer avec précision, le temps de propagation.

Coordination du temps

Le chronométrage du temps de propagation est donc critique. Premièrement, la durée du temps de transit du signal va être très courte. Avec un satellite juste au-dessus de nous, c'est de l'ordre de 60 millisecondes. Nous avons donc besoin d'horloges de précision. En assumant que nous avons ces horloges, comment pouvons nous mesurer le temps de transit?

Pour simplifier, disons que nous disposons des moyens nécessaires pour que le récepteur et le satellite génèrent précisément au même instant une impulsion. Au récepteur, nous allons voir deux impulsions, la première provenant directement du récepteur puis, quelque 60 millisecondes plus tard, la deuxième impulsion transmise par le satellite. Les deux impulsions sont étalées dans le temps. L'impulsion provenant du satellite a été retardée par un voyage de 18,000 kilomètres. Ce délai de transit est égal à la distance parcourue à la vitesse de la lumière qui est de 300,000 kilomètres à la seconde.

En multipliant le délai par la vitesse de la lumière nous obtenons la distance du satellite.

C'est ainsi que fonctionne le système GPS. Au lieu de transmettre une impulsion, les satellites et le récepteur utilisent un code pseudo-aléatoire.

Ayoye! Un code quoi?

Le code pseudo-aléatoire est un élément fondamental du système GPS. Pour les besoins de la simplicité, disons que ce n'est qu'une séquence d'impulsions ou de bits zéro et un comme suit :

Ces séquences de bits sont assez longues et complexes pour avoir l'apparence d'être aléatoires. De là l'expression pseudo-aléatoire. Il existe plusieurs bonnes raisons d'utiliser cette méthode d'encodage.

Premièrement, leur patron complexe permet d'éviter que le récepteur se synchronise accidentellement sur du bruit de fond (bruit gaussien ou QRM). Il est fort peu probable que le bruit de fond aura la même signature que le code pseudo-aléatoire surtout si la séquence est suffisamment longue. Plus elle sera longue, moindre sera la probabilité de confondre le bruit et cette signature.

Puisque chaque satellite possède un code pseudo-aléatoire qui lui est exclusif, c'est une assurance que le récepteur GPS ne sautera pas d'un satellite à l'autre. Ainsi, tous les satellites peuvent utiliser la même fréquence sans pour autant causer de l'interférence mutuelle en autant qu'ils utilisent des codes différents.

Il existe une autre très bonne raison pour utiliser un code complexe (long). Une raison critique au point de vue économique. Ces longs codes permettent d'utiliser le principe de la théorie de l'information afin d'extraire l'information transmise malgré le fait qu'elle soit reçue en dessous du seuil du bruit. Cela permet d'éviter les antennes à gain qui sont encombrantes ou des amplis à faible bruit dispendieux.

La théorie de l'information veut que plus il y ait redondance dans l'information, moins elle est susceptible d'être corrompue par du bruit blanc gaussien (Average White Gaussian Noise ou QRM). Dans le cas du GPS, le taux d'étalement du spectre occasionné par le code pseudo-aléatoire est d'environ 1,250Mb/s et le taux de modulation de l'information est d'environ 50 Bauds. Le ratio de redondance est donc de l'ordre de 25,000 à 1. Ceci correspond à un gain d'environ 44 dB.

Si nous syntonisons la fréquence de 1,575.42Mhz, tout ce que nous allons entendre est du bruit blanc gaussien d'origine atmosphérique. Son niveau le plus haut se situe aux environs de -130 dBm. Extraire du code pseudo-aléatoire qui se situe, dans des conditions optimales, autour de -140 dBm représente un défi de taille.

Comment faire?

Le code pseudo-aléatoire, même s'il ressemble à du bruit blanc gaussien, possède une différence majeure: on connaît son patron de zéros et de uns.

En comparant le bruit blanc gaussien au code pseudo-aléatoire jusqu'a concordance.

• Puisque les deux signaux sont aléatoires, quand ils ne sont pas synchronisés, le taux de concordance va se trouver autour de 50%.

• Si nous " glissons " le code pseudo-aléatoire le long du bruit blanc gaussien et qu'en même temps nous faisons une analyse statistique des concordances, une abrupte augmentation du taux de concordance va éventuellement se produire indiquant que nous sommes synchronisés au code provenant d'un des satellites.

• En accumulant les statistiques, il est possible d'atteindre un taux de distorsion isochrone d'environ 5%, un taux négligeable.

Vu que le code pseudo-aléatoire contient très peu d'information (ratio de 25,000 à 1), passablement de temps peut être consacré à " l'amplifier ". Les mathématiciens ont nommé ce procédé de la modélisation, estimation et filtrage ou bien du filtrage de Kalman-Wiener ou encore un filtre Kalman. Ce procédé d'élimination du bruit par traitement numérique est aussi employé en radioastronomie. Le projet SETI, ça vous dit quelque chose ?

Nous avons volontairement omis un point; on a présumé que le satellite et le récepteur commencent à générer leur code exactement au même instant (synchronisés et en phase). Nous verrons plus tard comment c'est fait.

Récapitulation

Mesure de la distance

1. La distance d'un satellite se mesure en calculant le temps de transit du signal radio entre le satellite et le récepteur GPS.

2. Nous assumons dans ce calcul de temps de transit que les codes aléatoires générés par le satellite et celui du récepteur GPS sont synchronisés et en phase.

3. En comparant le délai relatif entre le code pseudo-aléatoire généré par le satellite et le récepteur GPS, nous obtenons le temps de transit.

4. En multipliant le temps de transit par la vitesse de la lumière, nous obtenons la distance.